ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64308
Темы:    [ Математическая логика (прочее) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В некотором государстве живут граждане трёх типов:  а) дурак считает всех дураками, а себя умным;  б) скромный умный про всех знает правильно, а себя считает дураком;  в) уверенный умный про всех знает правильно, а себя считает умным. В думе – 200 депутатов. Премьер-министр провёл анонимный опрос думцев: сколько умных в этом зале сейчас находится? По данным анкет он не смог узнать количество умных. Но тут из поездки вернулся единственный депутат, не участвовавший в опросе. Он заполнил анкету про всю думу, включая себя, и прочитав её, премьер-министр всё понял. Сколько умных могло быть в думе (включая путешественника)?


Решение

  Все дураки дадут ответ "Один". Если бы умных в думе было три или больше, то все они назвали бы числа, не меньшие 2, и премьер-министр всё бы понял. Значит, умных могло быть 0, 1 или 2. Рассмотрим все эти случаи.
  Если умных не было, то все сказали: "Один". Если был один уверенный умный, то он тоже написал "Один", и ситуация не отличима от предыдущей. Если единственный умный – скромный, то он ответил: "Ни одного", и эта ситуация отличима.
  Если было два скромных умных, они ответили: "Один", и ситуация не отличима от первой. Если бы было два уверенных умных, они ответили бы "Два", и ситуация была бы отличима. Наконец, если бы были один уверенный и один скромный умный, то уверенный ответил бы "Два", и ситуация также была бы отличима.
  Таким образом, возможны три неразличимых варианта: нет умных, один уверенный умный и два скромных умных. Во всех этих случаях во всех анкетах ответ "Один".
  Посмотрим, какие ответы даст опоздавший думец в каждой из этих ситуаций в зависимости от его ума и скромности:

  Видно, что ответы 1 и 2 встречаются в нескольких клетках, то есть они не помогли бы различить ситуации. Зато ответы 0 и 3 встречаются в таблице по одному разу и позволяют сделать однозначный вывод. Значит, опоздавший дал один из этих ответов. В первом случае в думе один умный, во втором – три.


Ответ

Один или три.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 8 (2010 год)
Дата 2010-02-28
класс
1
Класс 6 класс
задача
Номер 6.9

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .