ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64363
Темы:    [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из целых чисел от 0 до 1000 выбрали 101 число.
Докажите, что среди модулей их попарных разностей есть десять различных чисел, не превосходящих 100.


Решение

Пусть  a0 < a1 < ... < a100  – выбранные числа, упорядоченные по возрастанию. Сумма десяти разностей  a10a0a20a10,  ..., a100a90  равна
a100a0 ≤ 1000,  поэтому одна из этих разностей не превосходит 100. Пусть это разность  a10i+10a10i;  тогда
0 < a10i+1a10i < a10i+2a10i < ... < a10i+10a10i ≤ 100.

Замечания

Если выбрать из чисел от 0 до 1000 все числа, кратные 10, то среди модулей их попарных разностей не найдётся десяти различных, не превосходящих 99.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 5
класс
1
Класс 11
задача
Номер 11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .