Страница: 1
2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача
64344
(#9.1)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Даны различные действительные числа a, b, с. Докажите, что хотя бы два из уравнений (x – a)(x – b) = x – c, (x – b)(x – c) = x – a,
(x – c)(x – a) = x – b имеют решение.
Задача
64344
(#10.1)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Даны различные действительные числа a, b, с. Докажите, что хотя бы два из уравнений (x – a)(x – b) = x – c, (x – b)(x – c) = x – a,
(x – c)(x – a) = x – b имеют решение.
Задача
64359
(#11.1)
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
Даны многочлены P(x) и Q(x) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение P(x) = Q(x) не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение P(x + 1) = Q(x – 1) имеет хотя бы один действительный корень.
Задача
64345
(#9.2)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность Ω. Касательные,
проведённые к Ω в точках B и C, пересекаются в точке P.
Точки D и E – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые AB и AC. Докажите, что точка пересечения высот треугольника ADE является серединой отрезка BC.
Задача
64352
(#10.2)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол 2πk/n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)
Страница: 1
2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
