ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64515
Темы:    [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.


Решение

Можно считать, что все точки  A1, ..., Ak  находятся на разной высоте: чем больше номер, тем точка выше. Проведем горизонтальные прямые  l1, ..., lk–1,  разделяющие точки: li проходит выше Ai, но ниже Ai+1. Общее количество точек пересечения прямых li–1 и li с нашими отрезками чётно. При этом на каждом отрезке, не выходящем из Ai, чётное число точек пересечения: 0 или 2, а на каждом отрезке, выходящем из Ai, – ровно одна. Следовательно, количество последних отрезков чётно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .