ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64703
Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены высота AH, биссектриса BL и медиана CM. Известно, что в треугольнике HLM прямая AH является высотой, а BL – биссектрисой. Докажите, что CM является в этом треугольнике медианой.


Решение

Так как  AHLM,  то  LM || BC,  то есть LM – средняя линия треугольника. Значит, BL – биссектриса и медиана треугольника ABC, то есть  AB = BC.  Поскольку BL является биссектрисой углов ABC и HLM, точки H и M симметричны относительно неё; значит,  ½ AB = BM = BH = ½ BC,  и высота AH является медианой треугольника ABC. Таким образом,  AC = AB = BC,  треугольник ABC – равносторонний, и из симметрии CM делит HL пополам.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2010
класс
Класс 8
задача
Номер 8.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .