ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64801
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности Ω1 и Ω2 с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке O. Точки X и Y лежат на Ω1 и Ω2 соответственно так, что лучи O1X и O2Y одинаково направлены. Из точки X проведены касательные к Ω2, а из точки Y – к Ω1. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку O.


Решение

  Обозначим через S точку пересечения XO1 и YO1 (см. рис.). Пусть r1 и r2 – радиусы соответствующих окружностей. Тогда    .   Значит,  SO || O2Y  и    .

  Пусть XZ – одна из касательных, проведённых из точки X ко второй окружности, а Z' – проекция S на XZ. Тогда    .
  Аналогично доказывается, что расстояние от S до остальных касательных также равно SO, то есть S и есть центр требуемой окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2014
класс
Класс 8
задача
Номер 8.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .