ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64813
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Точка Лемуана ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны окружность, её хорда AB и середина W меньшей дуги AB. На большей дуге AB выбирается произвольная точка C. Касательная к окружности, проведённая из точки C, пересекает касательные, проведённые из точек A и B, в точках X и Y соответственно. Прямые WX и WY пересекают прямую AB в точках N и M соответственно. Докажите, что длина отрезка NM не зависит от выбора точки C.


Решение 1

  Пусть отрезки AB и CW пересекаются в точке T (см. рис.). Тогда  ∠ACW = ∠ABW = ∠TAW,  то есть треугольники CAW и ATW подобны. Поскольку прямая WXсимедиана треугольника CAW (см. задачу 56983), она является медианой треугольника ATW, то есть точка N – середина отрезка AT. Аналогично точка M – середина BT, поэтому  MN = ½ AB.


Решение 2

  Поскольку W – середина дуги AB, касательная в ней параллельна AB. Совершим гомотетию с центром C, переводящую эту касательную в AB; пусть наша окружность при этой гомотетии переходит в окружность ω, а точка W – в точку T.
  Из подобия треугольников CAW и ATW, доказанного в решении 1, следует, что  AW² = WC·WT,  то есть W лежит на радикальной оси ω и точки A. Поскольку  XA = XC,  точка X также на ней лежит. Значит, эта радикальная ось – прямая WX, поэтому  NA² = NT²,  то есть N – середина AT. Аналогично M – середина BT, откуда MN = ½ AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2014
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .