ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65368
Темы:    [ Метод ГМТ ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Точка Микеля ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырёхугольник. Постройте циркулем и линейкой точку, проекции которой на прямые, содержащие его стороны, являются вершинами параллелограмма.


Решение

  Все углы в решении предполагаются ориентированными.
  Пусть K, L, M и N – проекции искомой точки P на стороны AB, BC, CD и DA соответственно. Условие  KL || MN  равносильно тому, что
BKL + ∠MND = ∠BAD.  В силу вписанности четырёхугольников PKBL и PMDN имеем  ∠BKL = ∠BPL  и  ∠MND = ∠MPD.  Следовательно, условие  KL || MN  равносильно тому, что  ∠BPD = ∠BPL + ∠MPD + ∠LPM = ∠BAD + (180° – ∠DCB).
  Значит, мы можем построить окружность, проходящую через B и D, на которой лежит точка P (см. рис.).
  Аналогично условие  KN || LM  равносильно тому, что  ∠CPA = 180° + ∠CBA – ∠ADC,  и можно построить окружность, проходящую через A и C и содержащую P. Одной из точек пересечения полученных двух окружностей будет точка Микеля четвёрки прямых AB, BC, CD и DA (её проекции на стороны четырёхугольника лежат на одной прямой; см. задачи 56628 и 56632). Вторая точка пересечения – искомая.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2015
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .