ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66045
Темы:    [ Парадоксы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  В школьном совете выбирают председателя. Кандидатов четверо: А, Б, В и Г. Предложена специальная процедура – каждый член совета должен записать на специальном листке кандидатов в порядке своих предпочтений. Например, АВГБ значит, что член совета на первое место ставит А, не очень возражает против В и считает, что он лучше, чем Г, зато меньше всего хотел бы видеть председателем Б. Первое место даёт кандидату 3 очка, второе – 2 очка, третье – 1 очко, а четвёртое – 0 очков. После сбора всех листков избирательная комиссия суммирует очки у каждого кандидата. Победит тот, у кого наибольшая сумма очков.
  После голосования выяснилось, что В (который набрал меньше всех очков) снимает свою кандидатуру в связи с переходом в другую школу. Заново голосовать не стали, а просто вычеркнули В из всех листков. В каждом листке осталось три кандидата. Поэтому первое место стало стоить 2 очка, второе – 1 очко, а третье – 0 очков. Очки просуммировали заново.
  Могло ли случиться так, что кандидат, который прежде имел больше всех очков, после самоотвода В получил меньше всех?


Решение

  Предположим, что в совете голосовали семеро, и голоса распределились, как показано в таблице слева.

  Очки распределились следующим образом:  А – 13,  Б – 11,  В – 6,  Г – 12.  Больше всех набрал кандидат А, меньше всех – кандидат В.
  Когда В снял свою кандидатуру, таблица предпочтений изменилась (таблица справа). Суммы очков тоже изменились:  А – 6,  Б – 7,  Г – 8.


Ответ

Могло.

Замечания

1. Странным образом кандидат с самым низким рейтингом изменил результаты выборов, просто перестав в них участвовать, а лидер стал аутсайдером. Подробно этот и другие парадоксы выборов и знаменитая теорема Эрроу описаны в книге Р.Э. Клима, Дж.К. Ходж. "Математика выборов". Москва. МЦНМО. 2007.

2. 2 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2017
тур
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .