ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66070
Тема:    [ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вася задумал двузначное число и сообщил Пете произведение цифр в записи этого числа, а Саше – сумму этих цифр. Между мальчиками состоялся такой диалог:
  Петя: "Я угадаю задуманное число с трёх попыток, но двух мне может не хватить".
  Саша: "Если так, то мне для этого хватит четырёх попыток, но трёх может не хватить".
Какое число было сообщено Саше?


Решение

  Пусть ab – задуманное двузначное число, тогда  P = ab  – произведение его цифр. Так как Петя берётся угадать задуманное число с трёх попыток, то число P должно раскладываться на два множителя, которые являются цифрами, ровно тремя способами, учитывая порядок множителей. Следовательно:
  1)  b ≠ 0  (иначе  Р = 0 = a·0  при любом a от 1 до 9, то есть указанных способов – 9);
  2) для чисел ab и ba значение Р одно и то же, поэтому Р должно быть квадратом какой-то из цифр (иначе Р раскладывается указанным образом чётным количеством способов).
  Таким образом, достаточно рассмотреть квадраты всех цифр и выписать все способы их указанного разложения на множители:
1 = 1·1;  4 = 2·2 = 1·4 = 4·1,  9 = 3·3 = 1·9 = 9·1,  16 = 4·4 = 2·8 = 8·2,  25 = 5·5,  36 = 6·6 = 4·9 = 9·4,  49 = 7·7,  64 = 7·7;  81 = 9·9.
  Следовательно, из фразы Пети Саша может сделать вывод, что задуманным могло оказаться только одно из следующих чисел: 22, 14, 41, 33, 19, 91, 44, 28, 82, 66, 49, 94. Среди них: одно число с суммой цифр 4 (22), два числа с суммой цифр 5 (14 и 41), одно число с суммой цифр 6 (33), одно число с суммой цифр 8 (44), четыре числа с суммой цифр 10 (19, 91, 28, 82), одно число с суммой цифр 12 (66) и два числа с суммой цифр 13 (49 и 94). Так как Саше требуется четыре попытки, то искомая сумма равна 10.


Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 15 (2017 год)
Дата 2017-03-19
класс
Класс 7 класс
задача
Номер 7.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .