ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66404
Темы:    [ Прямые, касающиеся окружностей ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На продолжениях сторон CA и AB треугольника ABC за точки A и B соответственно отложены отрезки AE = BC и BF = AC. Окружность касается отрезка BF в точке N, стороны BC и продолжения стороны AC за точку C. Точка M – середина отрезка EF. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе угла A.

Решение

Пусть прямая, проходящая через точку E и параллельная MN, пересекает прямую AB в точке X (см. рисунок). Тогда достаточно доказать, что треугольник XAE – равнобедренный. Поскольку MN – средняя линия треугольника EFX, то XF = 2NF. Используя равенства AE = BC, BF = AC и то, что длина отрезка AN равна полупериметру треугольника ABC, получим: AX = AF – XF = AB + BF – 2NF = AB + AC – 2NF = AB + AC – 2(AB + BF – AN) = AB + AC – 2(AB + AC – AN) = BC = AE. То есть треугольник XAE – равнобедренный и биссектриса его внешнего угла A параллельна основанию.

Комментарий. Также можно было продлить MN до пересечения с прямой AC и доказать равенство отрезков AN и AY, где Y – точка пересечения. Это можно сделать, например, используя теорему Менелая для треугольника EAF и прямой MN.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Дата 2018-04-15
класс
Класс 8-9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .