ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66516
Тема:    [ Игры-шутки ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеется три кучки по 40 камней. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход надо объединить две кучки, после чего разделить эти камни на четыре кучки. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто из играющих (Петя или Вася) может выиграть, как бы ни играл соперник?

Решение

За ход две кучи заменяются на четыре, т.е. число куч увеличивается на 2. А сколько будет куч, когда игра закончится? В начале число куч было нечётным, поэтому, увеличиваясь на два, оно всё время будет оставаться нечётным.

Если очередной ход сделать нельзя, то в двух самых больших кучках в сумме не более 3 камней. Тогда во всех остальных кучках по 1 камню и их не менее 120 – 3 = 117 штук. То есть всего должно быть (хотя бы) 119 куч.

Но чтобы получить 119 куч, надо сделать (119 − 3) : 2 = 58 ходов. Это число чётно, значит, последний ход сделал Вася (и он выиграл).

Ответ

Вася.

Комментарий. На самом деле это игра-шутка: Вася выигрывает вне зависимости от действий игроков.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2019
класс
Класс 7
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .