|
|
 |
Условие
Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке $T$, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Пусть $AC$ – диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки $CM$ и $AO_2$ перпендикулярны.
Решение 1
Обозначим через $x$ и $y$ радиусы первой и второй окружностей соответственно. Хорошо известно (см. задачу 52700), что длина общей касательной $AB$ равна $2$. Ясно, что $MA = MT = MB$. Так как $\frac{CA}{AM} = \frac{2x}{\sqrt{xy}} = \frac{2\sqrt{xy}}{y} = \frac{AB}{BO_2},$ прямоугольные треугольники $CAM$ и $ABO_2$ подобны. Поскольку они одинаково ориентированы, соответствующие катеты в них перпендикулярны, значит, и гипотенузы тоже. Что и требовалось.
Решение 2
Заметим, что $MO_1$ и $MO_2$ – биссектрисы углов $AMT$ и $BMT$ соответственно. Поэтому прямоугольные треугольники $AMO_1$ и $BO_2M$ подобны. Следовательно, существует поворотная гомотетия, переводящая $AMO_1$ в $BO_2M$. Поскольку $O_1$ – середина $AC$, а $M$ – середина $AB$, то $C$ перейдёт в $A$. Поэтому отрезок $CM$ переходит в $AO_2$, и угол между ними равен углу поворота, то есть 90°.
Решение 3
Обозначим через $X$ точку пересечения отрезка $AO_2$ с первой окружностью (см. рис.). Тогда $\angle AXC$ = 90°. Достаточно доказать, что точки $C, X$ и $M$ лежат на одной прямой, то есть что $\angle MXO_2$ = 90°. Точки $C, T$ и $B$ лежат на одной прямой, поскольку $\angle CTA = \angle ATB $ = 90° $(MA = MT = MB)$. Прямые $AC$ и $BO_2$ параллельны, значит, $\angle TCA = \angle TBO_2$. Из вписанного четырёхугольника $AXTC$ имеем $\angle TCA = \angle TXO_2$. Поэтому четырёхугольник $TXBO_2$ тоже вписанный ($X$ и $B$ лежат по одну сторону от $TO_2$). Так как точки $B$ и $T$ лежат на окружности с диаметром $MO_2$, то и $X$ лежит на ней, и $\angle MXO_2$ = 90°, что и требовалось.
Замечания
4 балла
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| номер/год | |
| Номер | 39 |
| Дата | 2017/18 |
| неизвестно | |
| Вариант | весенний тур, базовый вариант, 10-11 классы |
| задача | |
| Номер | 3* |
