Задача 52700

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружности радиусов r и R  (R > r)  касаются внешним образом в точке K. К ним проведены две общие внешние касательные. Их точки касания с меньшей окружностью – A и D, с большей – B и C соответственно.
  а) Найдите AB и отрезок MN общей внутренней касательной, заключённый между внешними касательными.
  б) Докажите, что углы AKB и O₁MO₂ – прямые (O₁ и O₂ – центры окружностей).

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра O₁ на O₂B и рассмотрите полученный прямоугольный треугольник. Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны между собой.

Решение

  а) Опустим перпендикуляр O₁P на O₂B. Имеем  O₁O₂ = r + R,  O₂P = R – r, 
  Так как  MB = MK = MA,  то  NM = 2MK = AB.

  б) Поскольку MO₁ и MO₂ – биссектрисы смежных углов AMK и BMK, то угол O₁MO₂ – прямой.
  Как показано в а), точка K лежит на окружности с диаметром AB. Поэтому  ∠AKB = 90°.

Ответ

а)  2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	365