|
|
 |
Условие
Пусть $A_1A_2A_3$ – остроугольный треугольник, радиус описанной окружности равен $1$, $O$ – ее центр. Из вершин $A_i$ проведены чевианы через $O$ до пересечения с противолежащими сторонами в точках $B_i$ соответственно $(i=1, 2, 3)$.(а) Из трех отрезков $B_iO$ выберем самый длинный. Какова его наименьшая возможная длина?
(б) Из трех отрезков $B_iO$ выберем самый короткий. Какова его наибольшая возможная длина?
Решение
Вначале покажем, что из двух отрезков $B_iO$ длиннее тот, который направлен к меньшей стороне (ясно, что при равенстве сторон отрезки равны). Пусть, например, $A_1A_3 < A_2A_3$. Так как $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1$, имеем $\angle OA_2B_1 < \angle OA_1B_2$. В треугольниках $A_1OB_2$ и $A_2OB_1$ имеем $A_1O=A_2O$, $\angle A_1OB_2 = \angle A_2OB_1$. Отсюда $B_1O < B_2O$, что и требовалось.(а) Пусть в остроугольном треугольнике $A_1A_2A_3$, вписанном в окружность радиуса $1$, сторона $A_1A_2$ наименьшая. Тогда отрезок $B_3O$ самый длинный среди $B_iO$. Так как $\angle A_3\le 60^{\circ}$, то $\angle A_1OA_2\le 120^{\circ}$ и $\angle OA_1A_2\ge 30^{\circ}$. Опустим из $O$ перпендикуляр $OP$ на $A_1A_2$. Тогда $1/2 \le OP\le B_3O$. Равенство достигается в равностороннем треугольнике.
(б) Пусть в остроугольном треугольнике $A_1A_2A_3$, вписанном в окружность радиуса $1$, сторона $A_1A_2$ наименьшая, а сторона $A_2A_3$ наибольшая, т.е. отрезок $B_1O$ самый короткий среди $B_iO$. Будем двигать точку $A_1$ по описанной окружности в направлении точки $A_2$. При этом отрезок $B_1O$ увеличивается, поскольку отклоняется от перпендикуляра из $O$ на $A_2A_3$. Когда угол $A_1A_3A_2$ станет равен $180^{\circ} - 2\angle A_2A_1A_3$, получим равнобедренный треугольник, в котором $A_1A_3=A_2A_3\ge A_1A_2$.
В треугольнике $A_1B_1A_3$ отрезок $A_3O$ является биссектрисой, поэтому $B_1O/A_1O=B_1A_3/A_1A_3=B_1A_3/A_2A_3$. Нетрудно видеть, что последнее отношение не больше $1/2$ при $A_1A_2\le A_1A_3$. Значит, $B_1O\le 1/2$. Равенство достигается в равностороннем треугольнике.
Ответ
(а), (б) $1/2$.Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2019 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 12 [8-11 кл] |
