|
|
 |
Условие
Первая производная бесконечной последовательности $a_1, a_2$, ... – это последовательность $a'_n = a_{n+1} - a_n$ (где $n$ = 1, 2, ...), а её k-я производная – это первая производная её ($k$–1)-й производной
($k$ = 2, 3, ...). Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2$, ... и $b_1, b_2$, ... – хорошие последовательности, то и $a_1b_1, a_2b_2$, ... – хорошая последовательность.
Решение
Пусть $c_n = a_nb_n$. Тогда $c'_n = a_{n+1}b_{n+1} - a_nb_n = a_{n+1}(b_{n+1} - b_n) + b_n(a_{n+1} - a_n) = a_{n+1}b'_n + b_na'_n$. Так как в сумме все слагаемые положительны, первая производная у $c_n$ (и у произведения любых двух хороших последовательностей) состоит из положительных чисел. Кроме того, мы представили $c'_n$ в виде суммы двух произведений хороших последовательностей.
Далее по индукции, пользуясь тем, что производная суммы – это сумма производных и первая производная произведения хороших последовательностей положительна, получаем, что и все производные у $c_n$ состоят из положительных чисел.
