|
|
 |
Условие
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg} 1$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{3}$, $\ldots$, $\operatorname{arctg}\frac{1}{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.Решение
Сначала покажем, что в данном наборе есть тройки гирь, одна из которых уравновешивает две другие. Все веса не превосходят $\pi/4$, поэтому равенство $$ \operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg} \frac{1}{n}+\operatorname{arctg} \frac{1}{m}\right)=\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg} \frac{1}{k}\right) $$ равносильно равенству $\operatorname{arctg} \frac{1}{n}+\operatorname{arctg} \frac{1}{m}=\operatorname{arctg} \frac{1}{k}.$Воспользовавшись формулой $\operatorname{tg}(x+y)=\frac{\operatorname{tg} x+\operatorname{tg} y}{1-\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y},$ получим $$ \frac{n+m}{n m-1}=\frac{1}{k}, $$ т.е. $nm-k(n+m)=1$. Добавив в этом равенстве к обеим частям $k^{2}$ и разложив на множители, получим $(n-k)(m-k)=k^{2}+1$. Выбирая теперь различные натуральные $k$ и раскладывая $k^{2}+1$ на множители, найдём подходящие тройки, в которых каждое число не превосходит 50. Результат для $k\leqslant5$ и $n< m$ представлен в следующей таблице:
| $k$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| $(n, m)$ | $(2,3)$ | $(3,7)$ | $(4,13)$ | $(5,21)$ | $(6,31)$ |
| $(5,8)$ | $(7,18)$ |
Теперь покажем, как разложить гири по чашам:
| 1-я чаша | 2-я чаша | |
| 1 | = | 2,3 |
| 5,21 | = | 4 |
| 6,31 | = | 7,18 |
(указанному в таблице значению $n$ соответствует гиря весом $\operatorname{arctg} \frac{1}{n})$.
Таким образом, нам удалось выбрать 10 гирь и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
