|
|
 |
Условие
В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что {$\text{В}\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}\geqslant 2\text{Р}$}.
Например, для тетраэдра ($\text{В}=4$, $\text{Р}=6$, $\text{Т}=3$) выполняется равенство,
а для треугольной призмы ($\text{В}=6$, $\text{Р}=9$, $\text{Т}=1$) или куба ($\text{В}=8$, $\text{Р}=12$, $\text{Т}=0$) имеет место строгое неравенство.
Решение
Степенью вершины многогранника называется количество исходящих из неё рёбер этого многогранника. Вершины называются смежными, если они соединены ребром.Пусть $A$ — произвольная вершина многогранника, $k$ — её степень, $m_j$ — степени всех смежных с ней вершин ($j=1$, $2$, ..., $k$), занумерованных в произвольном порядке. Тогда $m_1+m_2+\ldots+m_k$ — это количество всех рёбер, исходящих из смежных с $A$ вершин, учтённых один или два раза, причём дважды учтены те и только те рёбра, которые лежат против вершины $A$ в некоторой треугольной грани многогранника. Значит, $m_1+m_2+\ldots+m_k\leqslant \text{Р}+\text{Т}$. Отсюда, используя известное неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим, получаем $$ \frac{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}+\ldots+\sqrt{m_k}}{k}\leqslant \sqrt{\frac{m_1+m_2+\ldots+m_k}{k}}\leqslant \frac{\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}}{\sqrt{k}}. $$ Следовательно, $$ \sqrt{\frac{m_1}{k}}+\sqrt{\frac{m_2}{k}}+\ldots+\sqrt{\frac{m_k}{k}}\leqslant \sqrt{\text{Р}+\text{Т}}. $$
Обозначим сумму в левой части последнего неравенства через $S(A)$.
Пусть $A_i$ ($i=1,2,\ldots,\text{В}$) — все вершины многогранника, занумерованные в произвольном порядке, а $n_i$ ($i=1$, 2, ..., $\text{В}$) — их соответственные степени. Для любой пары смежных вершин $A_i$ и $A_j$ по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим выполнено неравенство $$ \sqrt{\frac{n_j}{\smash{n_i}}}+\sqrt{\frac{n_i}{\smash{n_j}}}\geqslant 2. $$
Складывая эти неравенства по всем неупорядоченным парам $\{A_i,A_j\}$ смежных вершин многогранника, получаем $$ \mathop{\textstyle\sum}\limits_{i=1}^\text{В} S(A_i)\geqslant 2\text{Р}. $$
По доказанному выше неравенству $S(A)\leqslant\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}$, отсюда следует требуемая оценка.
