|
|
 |
Условие
а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше ⅖ общего числа участников этого похода, во втором – тоже меньше ⅖. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше 4/7 общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал по крайней мере в одном походе.
б) Пусть в k-м походе, где 1 ≤ k ≤ n, мальчики составляли αk-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из n походов)?
Решение
а) В первом походе количество мальчиков было меньше ⅔ количества девочек – участниц этого похода. Тем более оно меньше ⅔ общего количества девочек – учениц класса. То же верно для мальчиков – участников второго похода. Поскольку каждый ученик был хотя бы в одном походе, всего мальчиков в классе меньше 4/3 количества девочек. Следовательно, мальчиков в этом классе не больше 4/7 общего числа учеников.
б) Пусть bi и gi – число мальчиков и девочек в i-м походе, b и g – число мальчиков и девочек на общей встрече. По условию bi = αi(bi + gi), откуда (1 – αi)bi = αigi ≤ αig, поэтому если все αi < 1, то
откуда
Итак, если αi < 1 для всех i, то мальчики будут составлять не более от общего числа участников походов,
где
Докажем, что эта граница может достигаться. Для этого требуется, чтобы все написанные неравенства превратились в равенства. Легко понять, что это будет так, если девочки во всех походах были одни и те же, а мальчики – разные, то есть каждый из мальчиков был только в одном походе. Покажем, что это может быть при любых αi. Пусть (числа αi и, следовательно,
рациональны; мы можем записать
в виде дробей с одним и тем же знаменателем). Тогда, если в i-м походе N (одних и тех же) девочек и mi (разных) мальчиков, то на встречу придут
мальчиков и N девочек; отношение M к N как раз равно c, а отношение M к M + N равно
.
Если же αj = 1 для некоторого j (хотя бы для одного), то мы уже не можем дать никакой отличной от 1 оценки сверху для доли мальчиков на общей встрече. Действительно, если взять число участников j-го похода очень большим (все они – мальчики), то долю мальчиков на общей встрече можно сделать сколь угодно близкой к 1.
