ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76549
Темы:    [ Равногранный тетраэдр ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Ортогональная проекция (прочее) ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольной пирамиде все 4 грани имеют одинаковую площадь. Докажите, что они равны.

Решение

Проведём через прямую AB плоскость, параллельную прямой CD. Пусть C' и D' — проекции точек C и D на эту плоскость. Покажем, что прямая AB делит отрезок C'D' пополам. Действительно, проекция тетраэдра ABCD на плоскость, перпендикулярную прямой AB, представляет собой равнобедренный треугольник, поскольку две его стороны равны высотам (равновеликих) треугольников ACB и ADC, опущенных из вершин C и D на сторону AB. Аналогично доказывается, что прямая CD делит пополам проекцию ребра AB на плоскость, проходящую через прямую CD параллельно прямой AB. Таким образом, AC'BD' — параллелограмм. Из равенства BC' = AD' следует равенство BC = AD. Равенства длин остальных пар противоположных рёбер доказываются аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 10
Год 1947
вариант
Класс 9,10
Тур 2
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .