Информация о задаче

Задача 77877

Темы:	[	Максимальное/минимальное расстояние	]
Темы:	[	Куб	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Поместить в куб окружность наибольшего возможного радиуса.

Решение

Пусть a — длина ребра куба. Сечение куба плоскостью, проходящей через его центр ортогонально одной из диагоналей, является правильным шестиугольником. Радиус вписанной окружности этого шестиугольника равен ${\frac{a\sqrt{6}}{4}}$ , поэтому в куб можно поместить окружность радиуса ${\frac{a\sqrt{6}}{4}}$ . Покажем, что окружность большего радиуса в куб поместить нельзя. Прежде всего заметим, что достаточно ограничиться рассмотрением окружностей с центром в центре куба. Действительно, если окружность радиуса R содержится в кубе, то окружность, симметричная ей относительно центра куба, тоже содержится в кубе. Но тогда из выпуклости куба следует, что окружность радиуса R, центр которой совпадает с центром куба, а сама она расположена в плоскости, параллельной плоскости исходной окружности, тоже содержится в кубе. Рассмотрим окружность радиуса R с центром в центре куба и шар того же радиуса и с тем же центром. Нас интересует лишь случай, когда R > a/2 и рассматриваемая окружность лежит внутри куба. В этом случае вне куба находятся шесть шаровых сегментов. Радиусы окружностей, лежащих в их основаниях, равны r = $\sqrt{R^2-(a/2)^2}$ , поэтому r возрастает при возрастании R. Рассмотрим конусы, вершины которых находятся в центре куба, а основаниями служат окружности оснований шаровых сегментов. Если плоскость $\Pi$ , содержащая рассматриваемую окружность, пересекает один из этих конусов, то часть окружности проходит по шаровому сегменту, а потому частично лежит вне куба. Таким образом, нужно доказать, что если R > ${\frac{a\sqrt{6}}{4}}$ , то плоскость $\Pi$ пересекает один из конусов. Плоскость $\Pi$ разбивает лучи, выходящие из центра куба и направленные в середины граней, на две тройки (каждая тройка лежит по одну сторону от плоскости $\Pi$ ). Рассмотрим плоскость $\Pi{^\prime}$ , которая проходит через центр куба перпендикулярно одной из диагоналей и разбивает эти лучи на те же самые две тройки. В плоскости $\Pi{^\prime}$ есть окружность радиуса ${\frac{a\sqrt{6}}{4}}$ , целиком лежащая внутри куба. Легко проверить, что плоскость $\Pi{^\prime}$ касается трёх конусов (соответствующих тройке лучей, которые являются осями этих конусов) по трём лучам OX, OY, OZ. Лучи OX, OY, OZ лежат строго внутри конусов, соответствующих окружности радиуса R > ${\frac{a\sqrt{6}}{4}}$ . Значит, эти лучи лежат по одну сторону от плоскости $\Pi$ , поскольку оси соответствующих конусов лежат по одну сторону от этой плоскости. Плоскости $\Pi$ и $\Pi{^\prime}$ имеют общую точку (центр куба), поэтому они пересекаются по некоторой прямой. Лучи OX, OY и OZ образуют друг с другом углы в 120^o, поэтому никакая прямая не может разделить плоскость $\Pi{^\prime}$ так, чтобы эти лучи лежали в одной полуплоскости. Таким образом, плоскость $\Pi{^\prime}$ пересекает один из конусов, если R > ${\frac{a\sqrt{6}}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	11
Год	1948
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	2