ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78197
Тема:    [ Развертка помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что не более одной вершины тетраэдра обладает тем свойством, что сумма любых двух плоских углов при этой вершине больше 180o.

Решение

Предположим противное, тогда возьмём ребро, соединяющее две такие вершины. Рассмотрим развёртку на плоскость двух граней, примыкающих к этому ребру. Получаем четырёхугольник, у которого $ \angle$DAB > 180o и $ \angle$BCD > 180o (см. рисунок), а значит, сумма всех углов этого четырёхугольника больше 360o, что невозможно. Получили противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 22
Год 1959
вариант
Класс 9
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .