Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]
|
|
|
Сложность: 2
Классы: 7,8,9,10
|
Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0,
1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл.
Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не
изменяются?
Пусть a и b — целые числа. Напишем число b справа от числа a. Если
число a чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем
из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число a1 напишем
под числом a. Справа от числа a1 напишем число 2b. С числом a1
проделаем ту же операцию, что и с числом a, и, получив число a2, напишем
его под числом a1. Справа от числа a2 напишем число 4b и так далее.
Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не получим в левом столбце число 1.
Доказать, что сумма тех чисел правого столбца, слева от которых стоят нечётные
числа, равна произведению ab.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 9,10
|
Даны две бочки бесконечно большой емкости. Можно ли, пользуясь двумя ковшами
емкостью
2 - 
и , перелить из одной в другую ровно 1 литр?
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 9,10
|
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Середины сторон AB и CD обозначим
соответственно через K и M, точку пересечения AM и DK — через O,
точку пересечения BM и CK — через P. Доказать, что площадь
четырёхугольника MOKP равна сумме площадей треугольников BPC и AOD.
|
|
|
Сложность: 3-
Классы: 10,11
|
Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клетки, равной 1. Пусть Pk – число всех непересекающихся ломаных длины k, начинающихся в точке O – некотором фиксированном узле сетки. Доказать, что Pk·3–k < 2 для любого k.
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]
Фильтр
