Условие
Из любых шести точек на плоскости (из которых никакие три не лежат на одной
прямой) можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет
хотя бы один угол, не больший
30
o. Доказать.
Решение
Возьмём на плоскости окружность настолько большого радиуса, чтобы она
содержала внутри себя все данные точки, и рассмотрим любую прямую
l,
лежащую вне этой окружности. Будем теперь приближать прямую к нашим точкам,
пока она не станет проходить через одну из них; пусть, например, она пройдёт
через точку
A. Соединим точку
A со всеми остальными точками — у нас
образуется 5 лучей:
AB,
AC,
AD,
AE,
AF.
Если при этом угол
BAF меньше или равен
120
o, то лучи
AC,
AD,
AE разбивают его на четыре части, среди которых, очевидно, найдётся одна,
меньшая или равная
30
o.
Если же угол
BAF больше
120
o, то в треугольнике
ABF сумма углов
ABF и
AFB меньше
60
o, и, значит, один из них должен быть меньше
30
o.
Источники и прецеденты использования
