Задача 78529

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Собрались 2n человек, каждый из которых знаком не менее чем с n присутствующими. Доказать, что можно выбрать из них четырёх человек и рассадить их за круглым столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со своими знакомыми (n2).

Решение

Если все присутствующие знакомы друг с другом, то возможность рассадить таким образом 4-х человек сомнения не вызывает. Пусть теперь A и B незнакомы между собой. Каждый из них имеет среди остальных 2n - 2 присутствующих не менее n знакомых; так как n + n = 2n = (2n - 2) + 2, то у A и B имеется, минимум, два общих знакомых C₁ и C₂ — и мы можем посадить A и B напротив друг друга, а между ними посадить C₁ и C₂.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	27
Год	1964
вариант
	1
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	2