ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78547
Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Длины сторон (неравенства) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

   Пусть O – центр пирога. Легко видеть, что окружность, построенная на BO как на диаметре, проходит через середины K и L сторон сторон AB и BC (см. рис.).

   Пусть P – точка, в которой пересекаются разрезы (или их продолжения), проведенные из точек K и L. Если точка P лежит внутри круга OKBL, то KP и LP не больше  BO = 1,  так что в точке P пересекаются сами разрезы, а не их продолжения. Таким образом, от пирога отрезан кусок KPLB.
   Пусть теперь P лежит вне круга. Тогда  ∠KPL < ∠KOL,  откуда легко следует, что  ∠OKP < ∠OLB,  то есть  α < β.  Остается заметить, что так как точки K, L, M идут по кругу, то не могут одновременно выполняться неравенства  α < β,  β < γ,  ...,  δ < α.  Это и означает, что хотя бы один кусок будет отрезан.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 27
Год 1964
вариант
1
Класс 11
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .