Задача 78674

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число, во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким образом, чтобы из суммы чисел в каждой группе нацело извлекался корень седьмой степени?

Решение

Будем строить эти группы поочерёдно. В первую группу отнесём только число 1. Во вторую группу отнесём числа 2 и 2⁷ - 2, в третью — 3, 4 и 2⁷ - 7. Пусть первые k - 1 групп уже построены. Отнесём сначала в k-ю группу первые k - 1 невыбранных чисел. Обозначим их сумму через S. Пусть b_k — минимальное натуральное число, такое что число b_k⁷ - S > 0 и ещё не выбрано. Отнесём число b_k⁷ - S также в k-ю группу. По построению, из суммы чисел в каждой группе нацело извлекается корень седьмой степени и построенные группы не пересекаются. Кроме того, так как после k-го шага первые  1 + 2 + ... + (k - 1) чисел уже отнесены к какой-нибудь группе, каждое число содержится в какой-то группе. Таким образом, мы построили требуемое разбиение.

Ответ

Можно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	31
Год	1968
вариант
	1
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	1