ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78710
Темы:    [ Теория игр (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычёркивает 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1, 2, 3, ..., 100, 101. После одиннадцати таких вычёркиваний останутся два числа. Затем второй игрок присуждает первому столько очков, какова разница между этими оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков, как бы ни играл второй.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Опишем выигрышную стратегию первого игрока. Первым ходом первый игрок вычёркивает девять чисел от 47 до 55. Остальные числа разбиваются на пары вида (x, 55 + x). Далее первому надо действовать так, чтобы после каждого его хода все числа были разбиты на пары такого вида. Покажем, как это сделать. Если второй игрок вычеркнул k пар и l чисел без пар, то первому надо на своём ходе вычеркнуть все числа, парные l числам, вычеркнутым вторым игроком и k пар чисел. Тогда после его хода все оставшиеся числа будут разбиты на пары вида (x, 55 + x). В частности, после одиннадцатого хода оставшиеся два числа будут образовывать пару вида (x, 55 + x), что и требовалось доказать.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 32
Год 1969
вариант
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .