Задача 79368
|
|
 |
Условие
Имеется несколько камней, масса каждого из которых не превосходит 2 кг, а общая масса равна 100 кг. Из них выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число d. Какое максимальное значение может принимать число d для всевозможных наборов камней?
Решение
Пример. Для набора 55 камней весом 20/11 кг число d равно 10/11 (надо взять 5 или 6 камней).
Предположим, что для некоторого набора камней весом x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn число d больше 10/11. Выберем k так, что x1 + ... + xk–1 ≤ 10 ≤ x1 + ... + xk. Согласно предположению x1 + ... + xk−1 < 10 − 10/11 и x1 + ... + xk > 10 + 10/11. Следовательно, xk > 20/11. По условию xi ≤ 2, поэтому k > 5, то естьk − 1 ≥ 5. Значит, x1 + ... + x5 ≤ x1 + ... + xk−1 < 10. С другой стороны, x1 + ... + x5 > 5·10/11. Поэтому вес набора первых пяти камней отличается от 10 кг меньше чем на 10 – 100/11 = 10/11 кг. Противоречие.
Ответ
10/11.
