ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79504
Тема:    [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите минимум по всем α, β максимума функции

y(x) = |cos x + α cos 2x + β cos 3x|.


Решение

Ответ: $ \min\limits_{\alpha,\,\beta}^{}$$ \max\limits_{x}^{}$y(x) = $ {\frac{\sqrt3}{2}}$ и достигается при α = 0, β = − $ {\frac{1}{6}}$.
При всех α и β справедливо неравенство

$\displaystyle \max\limits_{x}^{}$y(х) ≥ max(у($\displaystyle {\frac{\pi}{6}}$); y($\displaystyle {\frac{5\pi}{6}}$)) = max(|$\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$|; |− $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$|) ≥ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}(|$\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$| + |− $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$|) ≥ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$|($\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$) − (− $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$)| = $\displaystyle {\frac{\sqrt3}{2}}$,

поэтому $ \min\limits_{\alpha,\,\beta}^{}$$ \max\limits_{x}^{}$y(x) ≥ $ {\frac{\sqrt3}{2}}$. Положим теперь f (x) = cos x$ {\frac{1}{6}}$cos 3x и найдём точки экстремума этой функции из уравнения f'(х) = 0: f'(х) = − sin x + $ {\frac{1}{2}}$ sin 3x = 0, −2 sin x + (3 sin x − 4 sin3x) = 0, откуда либо sin x = 0, x = kπ, либо sin2x = $ {\frac{1}{4}}$, x = ±$ {\frac{\pi}{6}}$ + kπ. Для функции y(x) = |f (x)| имеем: y(kπ) = $ {\frac{5}{6}}$ < $ {\frac{\sqrt3}{2}}$, y$ {\frac{\pi}{6}}$ + kπ) = $ {\frac{\sqrt3}{2}}$. Отсюда вытекает, что $ \max\limits_{x}^{}$f(x) = $ {\frac{\sqrt3}{2}}$ и поэтому $ \min\limits_{\alpha,\,\beta}^{}$$ \max\limits_{x}^{}$y(x) ≤ $ {\frac{\sqrt3}{2}}$. (Решение из книги [Гальперин, Толпыго]).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 49
Год 1986
вариант
Класс 10
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .