ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 79635
Темы:    [ Тождественные преобразования ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любое целое число можно представить в виде суммы кубов пяти целых чисел.
Например,  52 = 43 + (−3)3 + 23 + 23 + (−1)3.


Подсказка

Докажите, что каждое число, кратное 6, можно представить в таком виде.


Решение

(n + 1)3 + (n – 1)3 – 2n3 = 6n.  Итак, любое число, кратное 6, представляется в виде суммы четырёх кубов. Добавив 0, получим сумму пяти кубов. Добавляя
± 1, ± 8, 27, представим в виде суммы пяти кубов соответственно все числа, дающие при делении на 6 остатки  ± 1, ± 2, 3.

Источники и прецеденты использования

Фольклор

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .