Задача 86494

Темы:    [ Периметр треугольника ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Периметр треугольника АВС равен периметру треугольника АВD, а периметр треугольника ACD равен периметру треугольника BCD. Найдите длину АО, если ВО = 10 см.

Решение

  По условию  АС + ВС = AD + BD,  АС + AD = BC + BD (см. рис.).

  Записав второе равенство в виде  АС – BC = BD – AD  и сложив его с первым, получим  2АС = 2BD,  то есть  АС = BD.  Значит,  AD = BC,  следовательно, треугольники ADB и BСА равны (по третьему признаку). Поэтому  ∠ABD = ∠BAC,  то есть треугольник AОB – равнобедренный.

Ответ

10 см.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2000/01
класс
Класс	7
задача
Номер	4.2