ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 86936
Темы:    [ Свойства сечений ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан тетраэдр ABCD . Точки M , N и K лежат на ребрах AD , BC и DC соответственно, причём AM:MD = 1:3 , BN:NC = 1:1 и CK:KD = 1:2 . Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK . В каком отношении эта плоскость делит ребро AB ?

Решение

Пусть F – точка пересечения прямых KM и CA (рис.1), P – точка пересечения прямых FN и AB . Тогда четырёхугольник MKNP – искомое сечение. Через вершину D проведём прямую, параллельную AC , и продолжим MK до пересечения с этой прямой в точке T (рис.2). Обозначим AC = a , AF =x . Из подобия треугольников DKT и CKF находим, что

DT = FC· = 2(a + x),

а из подобия треугольников DMT и AMF
DT = AF· = 3x.

Из уравнения 2(a + x) = 3x находим, что AF = x = 2a . Через вершину B проведём прямую, параллельную AC , и продолжим FN до пересечения с этой прямой в точке E (рис.3). Из равенства треугольников BNE и CNF следует, что BE = CF = 3a , а из подобия треугольников BPE и APF
= = = .


Ответ

2:3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7113

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .