Задача 87088

Темы:    [ Сфера, описанная около пирамиды ] [ Четырехугольная пирамида ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами a и 2a . Высота пирамиды проходит через середину меньшей стороны основания и равна a . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение

Пусть PABCD – четырёхугольная пирамида, основание которой – прямоугольник ABCD со сторонами AB = a и AD = 2a , а высота PM проходит через середину M ребра AB ; PM = a , Q – центр прямоугольника ABCD , O – центр описанной сферы, R – её радиус. Точка O равноудалена от вершин прямоугольника ABCD , значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, проходящем через центр Q прямоугольника. С другой стороны, точка O равноудалена от вершин треугольника APB , значит, она лежит на перпендикуляре к плоскости APB , проходящем через центр O1 описанной окружности треугольника APB . Пусть r – радиус этой окружности. В треугольнике APB известно, что

tg PAB = = 2, cos PAB = , sin PAB = , BP = ,
значит,
O1M = PM - r = PM - =

= a - = a - = .
Прямые OQ и PM параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же плоскости. Аналогично, OO1 || QM . Значит,
OQ = O1M = ,
а т.к.
AC = = a, AQ = AC = ,
то из прямоугольного треугольника AQO находим, что
R = OA = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7407