Условие
Можно ли точку в пространстве закрыть четырьмя шарами?
Решение
Пусть
ABCD – правильный тетраэдр с центром в данной точке
O .
Опишем около него сферу. Рассмотрим сечения сферы плоскостями
ABC ,
ABD ,
ACD и
BCD . Получим четыре окружности на сфере. В конусы с
общей вершиной
O и окружностями оснований, описанными около
треугольников
ABC ,
ABD ,
ACD и
BCD , поместим непересекащиеся шары,
касающиеся боковых поверхностей (или их продолжений) этих конусов.
Пусть
R – наибольшее из расстояний от точки
O до точек, лежащих на
поверхностях этих четырёх шаров,
M – произвольная точка
пространства, расположенная вне сферы с центром
O и радиусом
R .
Тогда точка
M лежит внутри хотя бы одного из построенных
бесконечных конусов. Следовательно, точки
O и
M разделены по
крайней мере одним из указанных шаров.
Ответ
Да.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7527 |
