ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87251
Темы:    [ Объем параллелепипеда ]
[ Частные случаи параллелепипедов (прочее) ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямом параллелепипеде стороны основания равны a и b , острый угол между ними равен 60o . Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найдите объём параллелепипеда.

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед с основанием ABCD и боковыми рёбрами AA1 , BB1 , CC1 и DD1 , перпендикулярными плоскости основания ABCD , причём AB = a , AD = b , BAD = 60o . Тогда AC – большая диагональ параллелограмма ABCD , а BD1 – меньшая диагональ параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , т.к. ортогональная проекция BD наклонной BD1 меньше ортогональной проекции AC наклонной CA1 на плоскость основания ABCD . По условию задачи BD1 = AC . По теореме косинусов из треугольников ABC и ABD находим, что

AC2 = AB2 + BC2 - 2AB· BC cos ABC = a2 + b2 - 2ab cos 120o =


= a2 + b2 + ab,


BD2 = AB2 + AD2 - 2AB· AD cos BAD = a2 + b2 - 2ab cos 60o =


= a2 + b2 - ab.

Из прямоугольного треугольника BB1D находим высоту BB1 параллелепипеда:
BB1 = = =


= = .

Следовательно,
VABCDA1B1C1D1 = SABCD· BB1 = ab sin 60o · = ab.


Ответ

ab .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7722

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .