Задача 87296

Темы:    [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Формула Герона ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Высота пирамиды равна 5, а основанием служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9. Некоторая сфера касается плоскостей всех боковых граней пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания. Найдите радиус сферы.

Решение

Пусть сфера с центром O и радиусом R касается плоскостей боковых граней ABD , BCD и ACD в точках C1 , A1 и B1 , лежащих соответственно на сторонах AB , BC и AC основания ABC , причём AB = 7 , BC = 8 , AC = 9 (рис.1). Сечение сферы плоскостью основания ABC – окружность с центром в некоторой точке O1 , вписанная в треугольник ABC . Прямые OC1 , OA1 и OB1 перпендикулярны плоскостям граней ABD , BCD и ACD соответственно. Прямоугольные треугольники OC1D , OA1D и OB1D равны по катету и гипотенузе, поэтому боковые рёбра DC1 , DA1 и DB1 треугольной пирамиды A1B1C1D равны. Значит, высота DH этой пирамиды проходит через точку O1 – центр окружности, описанной около треугольника A1B1C1 . Так как DO1 – также высота пирамиды ABCD , то DO1 = 5 . Кроме того, OO1 – перпендикуляр к плоскости основания ABC , значит, точки D , O1 и O лежат на одной прямой, и эта прямая перпендикулярна плоскости основания данной пирамиды. Пусть r – радиус вписанной окружности треугольника ABC , p – полупериметр треугольника, S – его площадь. Тогда

p = 12, S = = = 12,

O1A1 = r = = = .
В прямоугольном треугольнике DA1O известны высота A1O1 = , проведённая из вершины прямого угла, и отрезок DO1 = 5 (рис.2). Обозначим A1DO = OA1O1 = α . Далее находим:
A1D = = = , = cos α = , = ,
откуда R = · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7767