Задача 87370

Темы:    [ Касательные к сферам ] [ Куб ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Сфера касается рёбер AD , DD1 , CD и прямой BC1 . Найдите радиус сферы, если ребро куба равно 1.

Решение

Центр O сферы равноудалён от боковых рёбер DA , DD1 и DC правильной треугольной пирамиды DACD1 с вершиной D , поэтому точка O лежит на прямой, содержащей высоту этой пирамиды, проходящую через вершину D , т.е. на прямой DB1 . Пусть K – точка пересечения диагоналей квадрата BB1C1C . Так как прямая BC1 перпендикулярна плоскости A1B1CD , то OK BC1 , значит, K – точка касания сферы с прямой BC1 из точки O можно опустить единственный перпендикуляр на прямую BC1 ). Опустим перпендикуляры OM и ON из центра сферы на прямые B1C и DC соответственно. Пусть r – радиус сферы. Тогда OK = ON = r , а из подобия треугольников DNO и DCB1 находим, что

DN = DC· = r· = .
Тогда
OM = CN = DC - DN = 1 - ,

KM = |CK - CM| = |CK - ON| = | - r|,

OM2 + KM2 = OK2, (1 - )2 + ( - r)2 = r2,
откуда r = , а т.к. DN = < 1 , то условию задачи удовлятворяет только r = - .

Ответ

2 - .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7863