Задача 87490

Темы:    [ Отношение объемов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точки K , M и N расположены соответственно на ребрах BC , AD и CD тетраэдра ABCD , причём BK:KC = 1:3 , AM:MD = 3:1 и CN:ND = 1:2 . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K , M , N . В каком отношении эта плоскость делит объём тетраэдра?

Решение

Обозначим BD = a . Рассмотрим плоскость грани BCD . Через точку C проведём прямую l , параллельную BD . Пусть продолжение отрезка KN пересекает прямую l в точке T , а прямую BD – в точке E . Обозначим BE = x . Из подобия треугольников TNC и END находим, что

CT = DE· = (a + x).
Из подобия треугольников TKC и EKB следует, что
CT = BE· = 3x.
Из уравнения (a + x) = 3x находим, что
BE = x = a, DE = DB + BE = a + a = a.
Рассмотрим плоскость грани ABD . Через точку A проведём прямую m , параллельную BD . Пусть прямая EM пересекает прямую m в точке G , а ребро AB – в точке Q . Из подобия треугольников AMG и DME находим, что
AG = DE· = a· 3 = a,
а из подобия треугольников AQG и BQE следует, что
= = = 18.
Плоскость ADK делит объем V данной пирамиды в отношении 1:3 , поэтому V_DABK = V и V_DACK = V . Секущая плоскость пересекает боковые рёбра AD , AB и AK треугольной пирамиды DABK в точках M , Q и K , поэтому
V_AMQK = · · · V_DABN= · · · V = V.
Тогда объём многогранника DMQBK равен V - V = V . Секущая плоскость пересекает боковые рёбра DA , DC и DK треугольной пирамиды DACK в точках M , N и K , поэтому
V_DMKN = · · · V_DACK = · · · V = V.
Значит, объём многогранника DMQKN равен
V + V = V.
Тогда объём остальной части пирамиды ABCD равен
V - V = V.
Следовательно, искомое отношение равно .

Ответ

15:61 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	8083