ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87593
Темы:    [ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Углы между прямыми и плоскостями ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите сумму углов, которые произвольная прямая образует с плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Докажем, что указанная сумма равна 90o . Если обе прямые перпендикулярны данной плоскости либо одна из прямых перпендикулярна плоскости, а вторая параллельна этой плоскости, то утверждение очевидно. Пусть одна из прямых перпендикулярна данной плоскости, а вторая не перпендикулярна и не параллельна этой плоскости. Через точку A данной плоскости α проведём прямую l1 , параллельную данной прямой l , и прямую p1 , параллельную данной прямой p , перпендикулярной плоскости α . Через пересекающиеся прямые l1 и p1 проведём плоскость β . Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой m , проходящей через точку A . Пусть n – произвольная прямая плоскости α , перпендикулярная прямой m . Тогда прямая n перпендикулярна двум пересекающимся прямым p1 и m плоскости β . Значит, m β . Из произвольной точки B , отличной от A и лежащей на прямой l1 , опустим перпендикуляр BM на прямую m . Тогда прямая BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым m и n плоскости α . Поэтому BM α . Значит, AM – ортогональная проекция прямой l на плоскость α , а BAM – угол прямой l1 с этой плоскостью. Так как прямые BM и p перпендикулярны одной и той же плоскости α , то BM || p . Поэтому угол между прямыми p и l равен углу между прямыми l1 и BM , т.е. углу ABM . Из прямоугольного треугольника ABM находим, что

BAM + ABM = 90o.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

90o .
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 8196

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .