Задача 97962

Темы:    [ Правило произведения ] [ Десятичная система счисления ] [ Сочетания и размещения ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Фомин С.В.

Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?

Решение

  Количество десятизначных чисел, представимых в виде произведения двух пятизначных, не больше количества всех пар пятизначных чисел (с учетом пар одинаковых чисел). (На самом деле их значительно меньше: во-первых, не все произведения, двух пятизначных чисел будут десятизначными, во-вторых, разные пары чисел могут дать одно и то же произведение.) Поэтому достаточно проверить, что количество пар пятизначных чисел меньше половины количества десятизначных чисел.

  Первый способ. Всего десятизначных чисел 9·10⁹ (см. решение задачи 60336), а удвоенное количество пар пятизначных чисел
равно   9·10⁴ (9·10⁴ + 1) = 81·10⁸ + 9·10⁴ < 9·10⁹.
  Второй способ. Каждой паре  (A, B)  двух различных пятизначных чисел можно поставить в соответствие два десятизначных числа    и    (записав их друг за другом). Каждой паре вида  (A, B)  также поставим в соответствие два числа:    и  
  Заметим, что так получаются не все десятизначные числа: число 1111101111 так получить нельзя. Поэтому пар пятизначных чисел меньше половины количества десятизначных.

Ответ

Больше непредставимых.

Замечания

1. На Турнире городов для школьников Москвы вместо этой задачи давалась задача 58097.

2. Семиклассников лучше спрашивать о шестизначных чисел, представимых в виде произведения двух трёхзначных.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	9
Дата	1987/1988
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	3