ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97966
Темы:    [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
[ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Тутеску Л.

Решите систему уравнений:
   (x3 + x4 + x5)5 = 3x1,
   (x4 + x5 + x1)5 = 3x2,
   (x5 + x1 + x2)5 = 3x3,
   (x1 + x2 + x3)5 = 3x4,
   (x2 + x3 + x4)5 = 3x5.


Решение

Система симметрична относительно циклических перестановок, поэтому можно считать, что x1 – наибольшее из пяти чисел. Тогда (поскольку функция  f(x) = x5  возрастающая),  3x2 = (x4 + x5 + x1)5 ≥ (x3 + x4 + x5)5 = 3x1 ≥ 3x2,  значит,  x2 = x1.  Аналогично доказывается, что все числа равны. Осталось решить уравнение  (3x)5 = 3x.


Ответ

Три решения:  (0, 0, 0, 0, 0),  (± ⅓,  ± ⅓,  ± ⅓,  ± ⅓,  ± ⅓).

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1988
выпуск
Номер 9
Задача
Номер М1122
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 9
Дата 1987/1988
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .