ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98045
Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость xOy графики 100 квадратных трехчлёнов вида
y = anx² + bnx + cn  (n = 1, 2, ..., 100)?


Решение

  Докажем по индукции, что n парабол указанного вида могут разбить плоскость не более чем на  n² + 1  часть.
   База. Одна парабола разбивает плоскость на  2 = 1² + 1  части.
  Шаг индукции. n-я парабола пересекается с каждой из остальных не более, чем в двух точках. Эти точки пересечения, а их  m ≤ 2n – 2,  разбивают её на  m + 1  кусок. Каждый такой кусок разбивает одну из "старых" частей плоскости на две, то есть количество частей увеличивается не более чем на  2n – 1.  В силу индуктивного предположения, число частей разбиения n параболами не превосходит  2n – 1 + (n – 1)² + 1 = n² + 1.
  Построим теперь разбиение плоскости 100 параболами  100²+ 1  часть. Рассмотрим параболы  y = anx² – n.  При этом возьмём  a1 = 1,
а остальные  an > 0  будем строить индуктивно так, чтобы модуль абсцисс точек пересечения n-й параболы с осью Ox был меньше, чем модули абсцисс точек пересечения всех предыдущих парабол между собой и с осью абсцисс. Тогда, очевидно, каждые две параболы пересекаются в двух точках ниже оси абсцисс и никакие три не пересекаются в одной точке. Из предыдущих рассуждений следует, что число частей разбиения будет максимальным.


Ответ

На 10001 часть.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1990
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М1231
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1989/1990
Номер 11
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .