Задача 98059

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Свойства сечений ] [ Усеченная пирамида ] [ Выпуклые тела ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Существует ли выпуклый многогранник, одно из сечений которого – треугольник (сечение не проходит через вершины), и в каждой вершине сходятся
  а) не меньше пяти рёбер,
  б) ровно пять рёбер?

Решение

б) Существует. Приделаем к основаниям треугольной призмы две одинаковые многогранные шапочки. Вид сверху на такую шапочку см. на рисунке.

Ответ

Существует.

Замечания

1. Для п. а) в качестве проекции "шапочки" достаточно взять граф икосаэдра (см. рис. к решению задачи 98053). Для п. б) приходится внести в этот граф некоторые дополнения.

2. Баллы: 4 + 6.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1989/1990
Номер	11
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	5