ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98053
Темы:    [ Правильные многогранники (прочее) ]
[ Остовы многогранных фигур ]
[ Связность и разложение на связные компоненты ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Какое минимальное количество точек на поверхности
   а) додекаэдра,
   б) икосаэдра
надо отметить, чтобы на каждой грани была хотя бы одна отмеченная точка?


Решение

  а) Поскольку у додекаэдра 12 граней и каждая его вершина принадлежит трём из них, искомый минимум не меньше 4. На рис. слева показано, как отметить четыре вершины.

  б) Шести вершин, выделенных на рис. справа, достаточно.
  Докажем, что меньшим числом обойтись нельзя. 12 вершин икосаэдра разбиваются на шесть пар противоположных. Если в каждой пары отмечена хотя бы одна вершина, то это уже шесть точек. Допустим, что ни одна из пары (A, B) противоположных вершин не отмечена. Тогда требуется не менее трёх вершин, чтобы "обслужить" пять граней, прилегающих к A, и еще три – для граней вокруг B.

Ответ

а) 4 точки;   б) 6 точек.

Замечания

баллы: 2 + 5

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1989/1990
Номер 11
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .