ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98250
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Инварианты ]
[ Композиция центральных симметрий ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три кузнечика сидят на прямой так, что два крайних отстоят на 1 м от среднего. Каждую секунду один из кузнечиков прыгает через другого в симметричную точку (если A прыгает через B в точку A1, то  AB = BA1).  Через некоторое время кузнечики оказались на тех же местах, что и вначале, но в другом порядке. Докажите, что поменялись местами крайние кузнечики.

Решение

Пусть кузнечики сидят на координатной оси в точках –1, 0, 1. Заметим, что в результате каждого прыжка координата кузнечика остаётся целой. Кроме того, кузнечик при прыжке перемещается всегда на чётное расстояние. Отсюда следует, что если координата кузнечика вначале была чётной, то она и всегда останется чётной. Следовательно, через некоторое время средний кузнечик вернулся на своё начальное место – в точку 0.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 16
Дата 1994/1995
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .