ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 3]      



Задача 73701  (#М166)

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10

а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше ⅖ общего числа участников этого похода, во втором – тоже меньше ⅖. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше 4/7 общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал по крайней мере в одном походе.

б) Пусть в k-м походе, где  1 ≤ k ≤ n,  мальчики составляли αk-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из n походов)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 73702  (#М167)

Темы:   [ Теорема Эйлера ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Пойа Дж.

В любой арифметической прогрессии  a,  a + d,  a + 2d,  ...,  a + nd,  ...,  составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73704  (#М169)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Пусть k и n – натуральные числа,  k ≤ n.  Расставьте первые n² натуральных чисел в таблицу n×n так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в k-м столбце была  а) наименьшей;  б) наибольшей.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .