О сложности

Каждой задаче нашей системы приписана сложность. На настоящий момент это число от 1 до 8 с одной значащей цифрой после запятой. Понимая, как непросто сравнивать по сложности, скажем, задачи по теории множеств и планиметрии, задачи для семиклассников и для десятиклассников, мы все же предприняли попытку создания единой шкалы оценки сложности, основные критерии которой приведены в таблице ниже. Конечно, эта классификация во многом условна, и то, что кажется простым одному человеку, может быть сложным для другого; сложность зависит от наличия определенных знаний, вкусов и т.д. В частности поэтому пользователю системы сложность показывается не в виде точного числа, а в виде, например 3- (задача немного легче, чем уровень 3), 3 или 3+ (задача немного сложнее, чем уровень 3). Разумеется, сложность каждой задачи указывается относительно класса, учащимся которого она рекомендуется. В дальнейшем планируется расширение шкалы сложности в обе стороны.

Сложность Структура решения, используемые методы Олимпиады, конкурсы и конференции, где может встретиться данная задача Примеры задач

2 Одна простая нешкольная идея, до которой легко догадаться. Задача решается в одно действие. Ответ, как правило, интуитивно ясен. Турнир Ломоносова, Математический праздник (задачи 1-3), Математическая регата (1-й тур), кружок для 6-8 классов. Задача 30282 Сложность: 2.0 (Классы: 5,6,7)
На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по цепочке.
Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?
Задача 34934 Сложность: 2.5 (Классы: 9)
В треугольнике каждую сторону увеличили на 1. Обязательно ли при этом увеличилась его площадь?

3 Одна не слишком сложная идея, до которой надо догадаться. Задача решается в оной действие. Ответ a priori не очевиден. Турнир Ломоносова, Математический праздник (задачи 3-5), Математическая регата (2-4-й тур), кружок для 6-8 классов, Московская математическая олимпиада (задачи 1-2). Задача 32793 Сложность: 3.0 (Классы: 7,8)
В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее: во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он не маг. Правда ли, что не все маги — волшебники?
Задача 35118 Сложность: 3.5 (Классы: 8,9,10)
Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?

4 Необходимо придумать алгоритм, решение состоит из нескольких ходов. Нешкольные, но не требующие дополнительных знаний, методы (операции над множествами, инварианты и т.п.) Математический праздник (задачи 5-6), Математическая регата (5-й тур), кружок для 6-8 классов, Московская математическая олимпиада (задачи 1-2). Задача 52458 Сложность: 4 (Классы: 8,9)
Из точки M, лежащей вне окружности, проведены к этой окружности две касательные. Расстояния от точки C, лежащей на окружности, до касательных равны a и b. Найдите расстояние от точки C до прямой AB, где A и B — точки касания.
Задача 34987 Сложность: 4.5 (Классы: 9,10,11)
Существуют ли 100 таких прямоугольников, что ни один из них нельзя покрыть остальными 99-ю?

5 Требуется придумать алгоритм, стратегию. Довольно сложные построения. Необходим базовый уровень владения математической техникой. Московская математическая олимпиада (задачи 2-4), Турнир городов (задачи 2-4), Задача 34844 Сложность: 5.0 (Классы: 9,10)
Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется плохой, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81n.
Задача 55659 Сложность: 5.7 (Классы: 8,9)
Пусть A1,B1 и C1 — основания высот и треугольника ABC. Докажите, что прямые Эйлера треугольников AB1C1, A1BC1 и CA1B1 пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC.

6 Нестандартные, нешкольные приемы в задачах со стандартной формулировкой. Либо в задаче надо придумать сложный алгоритм решения, либо требуется знание нешкольных методов (инверсия, проективные преобразования, разложение в ряд и т.п.). Требуется достаточно высокий уровень владения математической техникой. Московская математическая олимпиада (задачи 5-6), Турнир городов (задачи 5-6) Задача 35228 Сложность: 6.0 Классы: 10,11
Дано 16 кубов с длинами ребер соответственно 1,2,...,16. Разделите их на две группы так, чтобы в обеих группах были равны: суммарные объемы, суммы площадей боковых поверхностей, суммы длин ребер и количество кубов.
Задача 58451 Сложность: 6.5 Классы: 9,10,11 (Теорема Паскаля)
В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.

Сложность	Структура решения, используемые методы	Олимпиады, конкурсы и конференции, где может встретиться данная задача	Примеры задач
2	Одна простая нешкольная идея, до которой легко догадаться. Задача решается в одно действие. Ответ, как правило, интуитивно ясен.	Турнир Ломоносова, Математический праздник (задачи 1-3), Математическая регата (1-й тур), кружок для 6-8 классов.	Задача 30282 Сложность: 2.0 (Классы: 5,6,7) На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно? Задача 34934 Сложность: 2.5 (Классы: 9) В треугольнике каждую сторону увеличили на 1. Обязательно ли при этом увеличилась его площадь?
3	Одна не слишком сложная идея, до которой надо догадаться. Задача решается в оной действие. Ответ a priori не очевиден.	Турнир Ломоносова, Математический праздник (задачи 3-5), Математическая регата (2-4-й тур), кружок для 6-8 классов, Московская математическая олимпиада (задачи 1-2).	Задача 32793 Сложность: 3.0 (Классы: 7,8) В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее: во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он не маг. Правда ли, что не все маги — волшебники? Задача 35118 Сложность: 3.5 (Классы: 8,9,10) Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
4	Необходимо придумать алгоритм, решение состоит из нескольких ходов. Нешкольные, но не требующие дополнительных знаний, методы (операции над множествами, инварианты и т.п.)	Математический праздник (задачи 5-6), Математическая регата (5-й тур), кружок для 6-8 классов, Московская математическая олимпиада (задачи 1-2).	Задача 52458 Сложность: 4 (Классы: 8,9) Из точки M, лежащей вне окружности, проведены к этой окружности две касательные. Расстояния от точки C, лежащей на окружности, до касательных равны a и b. Найдите расстояние от точки C до прямой AB, где A и B — точки касания. Задача 34987 Сложность: 4.5 (Классы: 9,10,11) Существуют ли 100 таких прямоугольников, что ни один из них нельзя покрыть остальными 99-ю?
5	Требуется придумать алгоритм, стратегию. Довольно сложные построения. Необходим базовый уровень владения математической техникой.	Московская математическая олимпиада (задачи 2-4), Турнир городов (задачи 2-4),	Задача 34844 Сложность: 5.0 (Классы: 9,10) Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется плохой, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81n. Задача 55659 Сложность: 5.7 (Классы: 8,9) Пусть A1,B1 и C1 — основания высот и треугольника ABC. Докажите, что прямые Эйлера треугольников AB1C1, A1BC1 и CA1B1 пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC.
6	Нестандартные, нешкольные приемы в задачах со стандартной формулировкой. Либо в задаче надо придумать сложный алгоритм решения, либо требуется знание нешкольных методов (инверсия, проективные преобразования, разложение в ряд и т.п.). Требуется достаточно высокий уровень владения математической техникой.	Московская математическая олимпиада (задачи 5-6), Турнир городов (задачи 5-6)	Задача 35228 Сложность: 6.0 Классы: 10,11 Дано 16 кубов с длинами ребер соответственно 1,2,...,16. Разделите их на две группы так, чтобы в обеих группах были равны: суммарные объемы, суммы площадей боковых поверхностей, суммы длин ребер и количество кубов. Задача 58451 Сложность: 6.5 Классы: 9,10,11 (Теорема Паскаля) В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.