|
|
 |
Условие
Пусть A1, B1 и C1 — основания высот AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC. Докажите, что прямые Эйлера треугольников AB1C1, BA1C1 и CA1B1 пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC.
Подсказка
Пусть AA1, BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC, а A2, B2 и C2 — центры описанных окружностей подобных между собой треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C. Тогда прямые B1A2, B1B2 и B1C2 пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC и образуют равные углы с прямыми Эйлера треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C.
Решение
Докажем сначала следующее утверждение. Если XY и ZY — хорды одной окружности, то образы прямых XY и ZY при поворотах в одном направлении на один и тот же угол вокруг точек соответственно X и Z пересекаются на этой окружности.
Действительно, если M — точка пересечения образов этих
прямых, то либо
YXM =
YZM, либо
YXM +
YZM = 180o.
Следовательно, точки X, Y, Z и M лежат на описанной
окружности треугольника XYZ.
Предположим, что треугольник ABC — остроугольный. Пусть H — точка пересечения его высот AA1, BB1 и CC1; A2, B2 и C2 — центры описанных окружностей подобных между собой треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C. Точки A2, B2 и C2 лежат на окружности девяти точек треугольника ABC, т.к. AH, BH и CH — диаметры описанных окружностей треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C, а A2, B2 и C2 — центры этих окружностей.
Из подобия этих треугольников следует, что прямые B1A2, B1B2 и B1C2 образуют равные углы с прямыми Эйлера этих треугольников. Поскольку прямые B1A2, B1B2 и B1C2 пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC, то их образы при поворотах вокруг точек A2, B2 и C2 на один и тот же угол (равный углу между каждой из них и соответствующей прямой Эйлера) также пересекаются на этой окружности.
Аналогично для случая тупоугольного треугольника.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 5115 |
