Каталог по источникам

Выбрано 10 задач

Докажите, что диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

На плоскости даны точки A и B . Доказать, что множество всех точек M , удалённых от A в 3 раза больше, чем от B , есть окружность.

Решение

При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)² + 3x + y = 2a?

Решение

Какое максимальное число дамок можно поставить на чёрных полях шахматной доски размером 8×8 так, чтобы каждую дамку била хотя бы одна из остальных?

Решение

Угол между радиусами OA и OB окружности равен 60°. Найдите хорду AB, если радиус окружности равен R.

Решение

Автор: Фольклор

Последовательные натуральные числа 2 и 3 делятся на последовательные нечётные числа 1 и 3 соответственно; числа 8, 9 и 10 – делятся на 1, 3 и 5 соответственно. Найдутся ли 11 последовательных натуральных чисел, которые делятся на 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 и 21 соответственно?

Решение

а) Докажите, что положительный корень квадратного уравнения bx² – abx – a = 0, где a и b – различные натуральные числа, разлагается в чисто периодическую цепную дробь с длиной периода, равной 2.
б) Верно ли обратное утверждение?

Решение

Докажите, что если то ^p/_q – подходящая дробь к числу α.

Решение

На плоскости даны 16 точек (см. рисунок).

а) Покажите, что можно стереть не более восьми из них так, что из оставшихся никакие четыре не будут лежать в вершинах квадрата.
б) Покажите, что можно обойтись стиранием шести точек.
в) Найдите минимальное число точек, которые достаточно стереть для этого.

Решение

Задача 104121 (#6)